2015年1月，我繼續(xù)徜徉在數(shù)值計(jì)算的世界。這段時(shí)間里，我抽空看了Python科學(xué)計(jì)算和數(shù)值分析方面的書，也仔細(xì)研讀了Octave的用戶手冊(cè)，甚至連古老的Fortran、新興的R語(yǔ)言我都去逐一了解。對(duì)于數(shù)值計(jì)算的庫(kù)，我了解了一下Boost的uBLAS，以前也用過(guò)OpenCV，當(dāng)然，了解最多的還是Python中的NumPy、SciPy和pandas。
前幾篇隨筆搞了不少工具論，所以今天我就專門來(lái)論一論編程語(yǔ)言。我的這個(gè)Linux江湖系列是一會(huì)兒方法論一會(huì)兒工具論，每過(guò)一段時(shí)間也談?wù)劸幊陶Z(yǔ)言。今天談的內(nèi)容是我對(duì)適合做數(shù)值計(jì)算的編程語(yǔ)言的一些看法，主要是一些思路方面的東西，不評(píng)論具體語(yǔ)言的優(yōu)劣。另外，我是想到哪兒寫到哪兒，如果有什么不對(duì)的地方歡迎大家指正。
一、元組和數(shù)組
如果數(shù)值計(jì)算僅僅只是兩個(gè)標(biāo)量之間的加減乘除，那就不需要我在這里浪費(fèi)口舌了。向量啊、矩陣啊、多維數(shù)組啊什么，才是數(shù)值計(jì)算真正的主角。所以，適合做數(shù)值計(jì)算的編程語(yǔ)言必須有一個(gè)好的方式表示數(shù)組，特別是多維數(shù)組。哪種方式好呢？是這樣：
int a[m][n][k];
還是這樣：
int a[m,n,k];
看似沒(méi)有什么差別，但是如果你想獲取數(shù)組a的形狀呢？比如這樣：
？ = a.shape();
或者再更進(jìn)一步，想改變數(shù)組a的形狀呢？比如這樣：
a.reshape(?);
在上面的代碼中，“?”究竟應(yīng)該用什么代替呢？
如果讓我給出答案，我會(huì)說(shuō)：要用元組。很多編程語(yǔ)言中都有元組的概念，比如Python。元組就是用逗號(hào)隔開的幾個(gè)值，可以加圓括號(hào)，也可以不加。我覺得加上圓括號(hào)后可讀性更好。比如(a,b)是元組，(3,4,5)也是元組。如果寫成[3,4,5]那就是數(shù)組了，在Python中，也稱之為列表。不過(guò)Python的列表功能比數(shù)組要強(qiáng)大，因?yàn)閿?shù)組只能保存同一種數(shù)據(jù)類型的值，而列表可以保存任何對(duì)象。數(shù)組一般情況下不能動(dòng)態(tài)改變長(zhǎng)度，而列表可以。Octave語(yǔ)言中使用cell array這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)表示可以保存不同類型對(duì)象的容器。Octave中的數(shù)組和矩陣是可以動(dòng)態(tài)改變長(zhǎng)度的。C語(yǔ)言的數(shù)組沒(méi)有動(dòng)態(tài)改變長(zhǎng)度這個(gè)功能，而如果使用C++的話，則必須使用vector>模板類。
我認(rèn)為，一個(gè)好的編程語(yǔ)言必須要有“元組”這個(gè)一個(gè)概念，必須能夠用好大括號(hào)、中括號(hào)和小括號(hào)。在有沒(méi)有元組這個(gè)問(wèn)題上，很多語(yǔ)言做得不好，C語(yǔ)言沒(méi)有，C++也沒(méi)有，Java沒(méi)有，C#這個(gè)有很多新功能的語(yǔ)言也沒(méi)有，不要告訴我有Tuple>模板類可以用，那個(gè)真的沒(méi)有語(yǔ)言內(nèi)置的元組功能好。在能不能用好大中小括號(hào)這個(gè)問(wèn)題上，C語(yǔ)言就做得不好。你看它不管是初始化數(shù)組，還是初始化struct，都是用大括號(hào)。而Python和JSON就做得很好嘛，初始化數(shù)組用中括號(hào)，初始化對(duì)象或字典的時(shí)候采用大括號(hào)。如果加上小括號(hào)表示元組，那就齊活兒了。
數(shù)值計(jì)算可以針對(duì)標(biāo)量、一維數(shù)組、二維數(shù)組以及n維數(shù)組進(jìn)行。數(shù)組可以如下組織，如下圖：
元組最大的用途就是可以用來(lái)表示數(shù)組的形狀了。比如一維數(shù)組的形狀為(n,)，請(qǐng)注意其中的逗號(hào)不能省略。二維數(shù)組的形狀(m,n)，三維數(shù)組的形狀(m,n,k)，依次類推。另外，元組可以用來(lái)對(duì)數(shù)組中的元素進(jìn)行索引。比如：
a = [ [1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12], [13,14,15,16] ];b = a[2,3,3];
元組還有一個(gè)很大的用途，那就是可以讓一個(gè)函數(shù)返回多個(gè)值。C語(yǔ)言在這個(gè)方面是做得比較丑陋的，如果一個(gè)函數(shù)要返回多個(gè)值，只能給這個(gè)函數(shù)傳指針或者多重指針作為參數(shù)，C++可以傳引用，C#更加畫蛇添足，專門有一個(gè)out關(guān)鍵字用來(lái)修飾函數(shù)的參數(shù)。微軟你真是的，你既然能想到out，你就不能想到元組嗎？常見的例子，比如meshgrid()函數(shù)可以同時(shí)初始化兩個(gè)數(shù)組，peak()函數(shù)可以同時(shí)初始化三個(gè)數(shù)組。你看它們用元組多方便：
(xx, yy) = meshgrid(x, y);(xx, yy, zz) = peak();
另外，元組還可以這樣用，比如交換兩個(gè)變量的值：
(a,b) = (b,a);
二、數(shù)組初始化
在數(shù)值計(jì)算中，數(shù)組的初始化也是非常重要的一環(huán)。如果像C語(yǔ)言這樣寫：
int a[100] = {1, 2, 3, 4, ... , 100};
估計(jì)很多人是要罵娘的。這樣寫：
for(int i=0; i100; i++){ a[i] = i+1;}
也不優(yōu)雅。我只是想初始化一個(gè)數(shù)組而已，怎么就非得要寫一個(gè)循環(huán)呢？如果是二維數(shù)組呢，就得兩層循環(huán)，三維數(shù)組就得三層。真的是太鬧心了。
另外，如前所述，我也不喜歡在初始化數(shù)組的時(shí)候用大括號(hào)。我覺得中括號(hào)就是為數(shù)組而生。比如這樣：
a = [1, 2, 3, 4];
這就是一個(gè)一維數(shù)組，但是如果這樣寫：
a = [ [1, 2, 3, 4] ];
就是一個(gè)行向量。如果寫成這樣：
a = [ [1], [2], [3], [4] ];
那么這就是一個(gè)列向量，如下圖：
當(dāng)然，上面的示例只有四個(gè)數(shù)字，這么寫一寫無(wú)可厚非。如果是很多數(shù)字呢？或者很多維的數(shù)組呢？這時(shí)就必須得用到很多初始化函數(shù)了，而且這些初始化函數(shù)最好能接受元組作為參數(shù)來(lái)決定數(shù)組的形狀。比如這樣：
a = xrange( 1, 60, (3,4,5) ); //用1到60的數(shù)字初始化一個(gè)3*4*5的數(shù)組
b = randn ( (3, 4, 5) ); //用隨機(jī)數(shù)初始化一個(gè)3*4*5的數(shù)組
其它的初始化函數(shù)還有l(wèi)inspace()、logspace()、ones()、zeros()、eyes()等等。這些函數(shù)還可以配合reshape()使用，比如這樣：
c = linspace(0, 2*pi, 60).reshape(3, 4, 5);
在所有的這些初始化中，元組都是重要的組成部分。
三、range和切片
其實(shí)，range除了可以是一個(gè)函數(shù)，還可以更省點(diǎn)兒事，像這樣寫：
r = 0:10:2; //0,2,4,6,8,10
s = 11:0:-3; //11,8,5,2
在某些語(yǔ)言中，也把這個(gè)功能叫切片。其實(shí)就是“:”的靈活運(yùn)用，有標(biāo)點(diǎn)符號(hào)可以用當(dāng)然不能浪費(fèi)嘛。使用切片，只需要指定起始值、終止值和步長(zhǎng)，就可以獲得一個(gè)數(shù)字序列。
但是，“:”最大的用途并不是用來(lái)對(duì)數(shù)組進(jìn)行初始化，而是對(duì)數(shù)組進(jìn)行索引。比如，a是一個(gè)三維數(shù)組，可以通過(guò)切片來(lái)獲取其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)。見下面的代碼：
a = range(1, 60).reshape(3, 4, 5); // a是一個(gè)三維數(shù)組
b = a[1, 2:3, 1:4]; // b是一個(gè)二維數(shù)組，其值為[ [12, 13, 14, 15], [17, 18, 19, 20]]
切片除了可以指定起始值和終止值外，也可以指定步長(zhǎng)。當(dāng)然，也可以只用一個(gè)單獨(dú)的“:”，代表取這一整個(gè)軸。關(guān)于軸的概念，可以看我前面的圖片。見下面這樣的代碼：
a = range(1, 60).reshape(3, 4, 5); // a是一個(gè)三維數(shù)組
b = a[1, :, :]; // b的值為二維數(shù)組[[1,2,3,4,5], [6,7,8,9,10], [11,12, 13, 14, 15], [16,17, 18, 19, 20]]
四、不寫循環(huán)
在對(duì)多維數(shù)組進(jìn)行加減乘除的時(shí)候，如果使用傳統(tǒng)的像C這樣的語(yǔ)言，則避免不了要寫循環(huán)。比如要計(jì)算兩個(gè)多維數(shù)組的加法，不得不寫這樣的代碼：
m = 10;
n = 20;
k = 30;
a = randn(m, n, k); //形狀為(m, n, k)的三維數(shù)組，初始化為隨機(jī)值
b = randn(m, n, k); //形狀為(m, n, k)的三維數(shù)組，初始化為隨機(jī)值
for(int i=0; im; i++){
for(int j=0; jn; j++){
for(int p=0; pk; p++){
c[i, j, p] = a[i, j, p] + b[i, j, p];
}
}
}
上面的代碼當(dāng)然遠(yuǎn)不如下面這樣的代碼簡(jiǎn)潔：
C = A + B;
所以不寫循環(huán)基本上就成了所有數(shù)值計(jì)算語(yǔ)言的標(biāo)準(zhǔn)配置。Matlab和Octave是這樣，NumPy是這樣，R語(yǔ)言也是這樣。C++也在追求這樣，因?yàn)镃++中有運(yùn)算符重載的功能，所以可以對(duì)矩陣類重載加減乘除運(yùn)算符。但是C++中運(yùn)算符的基礎(chǔ)設(shè)施有缺陷，比如它沒(méi)有乘方運(yùn)算符（冪運(yùn)算符），在Octave和NumPy中，都可以這樣計(jì)算$x^y$：x**y。但是在C++中，只有使用函數(shù)power(x, y)。不要想^運(yùn)算符，它是一個(gè)位運(yùn)算符，所以取冪只有使用**了。另外，多維數(shù)組運(yùn)算還有特例，比如二維數(shù)組之間加減乘除，既可以是逐元素的加減乘除，也可以是矩陣的加減乘除。向量計(jì)算也有特例，既可以是逐元素加減乘除，也可能是向量?jī)?nèi)積（點(diǎn)乘）。如果正好是長(zhǎng)度為3的向量，還可以計(jì)算叉乘。這些運(yùn)算符都需要重新定義，所以雖然C++有重載運(yùn)算符的機(jī)制，但是因?yàn)檫@些運(yùn)算符完全超越了C++的基礎(chǔ)設(shè)施，所以C++也沒(méi)有辦法寫得很優(yōu)雅。
不寫循環(huán)還有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，那就是可以對(duì)運(yùn)算速度進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化是編譯器或解釋器的責(zé)任，寫數(shù)值計(jì)算程序的人可以完全不用費(fèi)心。編譯器或解釋器可采取的優(yōu)化方式有可能是利用SSE等多媒體指令集，也可能是發(fā)揮多核CPU的多線程優(yōu)勢(shì)，甚至是使用GPGPU計(jì)算都有可能。如果用戶非要寫成C語(yǔ)言那樣的循環(huán)，而他又不會(huì)內(nèi)聯(lián)匯編或OpenMP的話，那么就談不上什么運(yùn)算速度的優(yōu)化了。
五、廣播
不寫循環(huán)，直接把兩個(gè)多維數(shù)組進(jìn)行加減乘除當(dāng)然省事。但是如果兩個(gè)數(shù)組的形狀不一樣呢？比如一個(gè)二維數(shù)組加一個(gè)行向量，或一個(gè)二維數(shù)組加一個(gè)列向量，甚至是數(shù)組加減乘除一個(gè)標(biāo)量，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？
不用擔(dān)心，在面向數(shù)值計(jì)算的語(yǔ)言中，一般都有“廣播”這樣一個(gè)特性。當(dāng)兩個(gè)數(shù)組的形狀不一樣時(shí)，形狀比較小的那個(gè)往往可以在長(zhǎng)度為1的維度上進(jìn)行廣播。如下圖：
六、奇異索引
Fancy indexing，有的書上翻譯成花式索引，但我認(rèn)為叫奇異索引比較好。它就是指一個(gè)低維的數(shù)組，可以使用高維的數(shù)組進(jìn)行索引，最后得到的結(jié)果是一個(gè)高維的數(shù)組。如果索引中含有切片，可能會(huì)得到一個(gè)更高維度的數(shù)組作為結(jié)果。
這個(gè)概念理解起來(lái)比較難。特別是再配合切片使用，更加增加其復(fù)雜性。所謂一圖勝千言，先看普通索引的情況：
前面提到，對(duì)多維數(shù)組進(jìn)行索引的時(shí)候需要用到元組，元組的長(zhǎng)度等同于數(shù)組的維數(shù)。對(duì)于普通索引而言，元組的各個(gè)部分要么是整數(shù)，要么是切片。而對(duì)于奇異索引而言，索引元組的各個(gè)組成部分都可能是多維數(shù)組或者切片。如果是多維數(shù)組，則最后得到的數(shù)組的形狀和索引數(shù)組的形狀相同，如果配合切片，則可能得到更高維的數(shù)組。如下圖：
七、函數(shù)調(diào)用
編程語(yǔ)言發(fā)展這么多年，一直在進(jìn)化，也一直在相互靠攏。對(duì)于一個(gè)編程語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，是應(yīng)該面向過(guò)程還是面向?qū)ο螅渴庆o態(tài)類型還是動(dòng)態(tài)類型？這些都是值得思考的地方。但是在函數(shù)調(diào)用方面，有一些思想倒是可以學(xué)習(xí)。
在C語(yǔ)言這樣比較古老的語(yǔ)言中，對(duì)于函數(shù)的參數(shù)來(lái)說(shuō)，只有位置參數(shù)一種。也就是說(shuō)，像一個(gè)函數(shù)傳遞參數(shù)的時(shí)候，只能正確的參數(shù)放到正確的位置，而且參數(shù)的個(gè)數(shù)必須和函數(shù)定義的相同。這是最原始的函數(shù)調(diào)用思想。
緊接著，在某些編程語(yǔ)言如Java、C#中，有了可選參數(shù)這個(gè)概念。但是可選參數(shù)要放到參數(shù)列表的最后面，而且必須提供默認(rèn)值。當(dāng)調(diào)用函數(shù)時(shí)如果指定了這個(gè)參數(shù)，則使用調(diào)用時(shí)指定的值，否則使用默認(rèn)值。
但是我覺得適合數(shù)值計(jì)算的語(yǔ)言必須還得更進(jìn)一步，提供關(guān)鍵字參數(shù)的功能。什么是關(guān)鍵字參數(shù)呢？比如對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖的時(shí)候，需要指定線型、標(biāo)簽、標(biāo)題等各種屬性，可以這樣調(diào)用函數(shù)：
plot(x, y, marker="*", color="r", linestyle="-", title="...", legend="...", xlabel="...", ylabel="...");
每一個(gè)參數(shù)調(diào)用的時(shí)候都可以指定它的名字，這樣我們就不用去死記各個(gè)參數(shù)的位置，是不是很方便呢？
八、生態(tài)環(huán)境
對(duì)于一門編程語(yǔ)言而言，生態(tài)壞境很重要。在數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域更是如此。因?yàn)楹芏鄶?shù)值計(jì)算的庫(kù)都是專業(yè)的人士寫給專業(yè)人士看的，比如物理專業(yè)的寫物理領(lǐng)域的算法，氣象專業(yè)的寫氣象專業(yè)的算法，所以不大可能有一個(gè)全面的官方的，像C或C++這樣一個(gè)由ANSI定義的庫(kù)。
廣泛接受開源社區(qū)的貢獻(xiàn)是一個(gè)比較好的辦法。Perl是這樣，Python也是這樣，新興的R語(yǔ)言也是這樣。Perl有CPAN，Python有PyPI，R語(yǔ)言也有CRAN。至于Matlab，那更是有各種各樣的工具包。
OK，就寫這么多吧，還有其它的一些什么特色，我想到后再隨時(shí)更新此文。
另外，本文中所有的圖片都是在Ubuntu中使用Inkscape矢量圖軟件繪制而成。
