如何利用Ruby簡單模擬Lambda演算詳解

前言

最近看一本叫做《計算的本質(zhì)》的書，這本書主要說了一些底層計算方面的知識?？梢哉f它刷新了我的三觀，而當(dāng)今天看到可以使用Y組合子來實現(xiàn)遞歸的時候我的世界觀基本崩塌了。故借著七夕來寫一篇文章總結(jié)一些關(guān)于計算的一些基本認識。以便后續(xù)可以更好地學(xué)習(xí)。也借著Ruby的語法來闡述一下關(guān)于Lambda的一些故事。

0. 題外話

為了慶祝一下這個七夕節(jié)日，我提前關(guān)掉了LOL，打開了Emacs，敲下如下代碼(這里順便推廣一下Ruby的單件方法)

subject = "情侶"
object = "狗"

def subject.do_something(who)
 "#{self} 虐 #{who}"
end

if __FILE__ == $0
 p subject.do_something(object)
 p object.do_something(subject)
end

上面代碼的運行結(jié)果是

"情侶 虐 狗"
dog.rb:11:in `main>': undefined method `do_something' for "狗":String (NoMethodError)

很明顯，情侶可以“虐”狗但狗不能“虐”情侶。因此第二句執(zhí)行語句會報錯。以上也是Ruby優(yōu)雅的地方，我可以直接在指定實例上定義方法，而不影響其他其他的同類的實例(以上實例都是字符串)。

1. 函數(shù)的一些基本認識

“題外話”有個卵子用？額， 說沒用，它還是有一點作用的。我們今天的主題是用Ruby來模擬Lambda演算。Lambda演算在Wiki上面的解釋是這樣的

Lambda演算可以被稱為最小的通用程序設(shè)計語言。它包括一條變換規(guī)則（變量替換）和一條函數(shù)定義方式，Lambda演算之通用在于，任何一個可計算函數(shù)都能用這種形式來表達和求值。

平時我們使用命令式的編程語言會更傾向于關(guān)注字符串， 數(shù)字，布爾 這些可以充當(dāng)主語或者賓語的類型。而我們平時跟他們打交道更多會以變量的形式，就如同“題外話”中的"狗"和"情侶"。但這篇文章的重點放在"虐"這個詞上，也就是我們常稱的謂語。在計算機里面我們通常稱他做方法 或者 函數(shù)。

既然Wiki上也說了Lambda是最小的通用程序設(shè)計語言，那我們有沒有可能用Lambda來模擬出數(shù)字， 字符串， 布爾等等的這些常用的數(shù)據(jù)類型呢？這就是接下來要講的東西。

1) Ruby中的函數(shù)

在Ruby中，函數(shù)其實可以算是一等公民，只是它的鋒芒往往被Ruby強大的面向?qū)ο筇卣鹘o掩蓋掉了（它使得我們更多地關(guān)注類還有模塊）。Ruby里面有個十分簡單的創(chuàng)建函數(shù)的方式

[1] pry(main)> -> x { x + 2 }
=> #Proc:0x007fc171dc6010@(pry):1 (lambda)>

它返回了一個Proc對象。其實這個對象，就類似于我們平時操作的函數(shù)對象。但是這里我們并沒有給函數(shù)賦予名字，可以理解為它是一個匿名函數(shù)。那么這種函數(shù)如何調(diào)用呢？有一種很語義化的調(diào)用方式，我們甚至不需要用變量來接受這個函數(shù)就可以調(diào)用它。

[2] pry(main)> -> x { x + 2 }.call(1000)
=> 1002
[3] pry(main)> -> x { x + 2 }.call(1000, 100000)
ArgumentError: wrong number of arguments (given 2, expected 1)
from (pry):3:in `block in __pry__'

Ruby還提供了參數(shù)檢測，如果傳入的參數(shù)與定義該函數(shù)的時候不匹配的話，則會拋出ArgumentError異常。此外，Ruby還提供了一種語法糖，我們可以用Proc#[]包裹參數(shù)來調(diào)用Proc實例。

使用方式如下:

[4] pry(main)> ADD_THREE = -> x { x + 3 }
=> #Proc:0x007fd8341ffc48@(pry):4 (lambda)>
[5] pry(main)> ADD_THREE[1000]
=> 1003

2) 柯里化

Wiki 上的解釋如下

在計算機科學(xué)中，柯里化（英語：Currying），又譯為卡瑞化或加里化，是把接受多個參數(shù)的函數(shù)變換成接受一個單一參數(shù)（最初函數(shù)的第一個參數(shù)）的函數(shù)，并且返回接受余下的參數(shù)而且返回結(jié)果的新函數(shù)的技術(shù)。
既然上面已經(jīng)講了Ruby創(chuàng)建匿名函數(shù)的基本方式，那下面來看看如何用Ruby來模擬一個柯里化的過程， 假設(shè)我有一個函數(shù)接收三個參數(shù)， 我定義如下

[10] pry(main)> ADD_THREE_NUMBER = -> (x, y, z) { x + y + z}
=> #Proc:0x007fd834aa4150@(pry):10 (lambda)>
[11] pry(main)> ADD_THREE_NUMBER.call(1,2,3)
=> 6

PS: 定義函數(shù)時參數(shù)用括號包裹是為了提高識別度，其實括號可加可不加，定義函數(shù)也可以寫成 -> x, y, z { x + y + z }
上述函數(shù)如何柯里化？按照柯里化的定義，我們可以把多參數(shù)的函數(shù)寫成嵌套返回多個單一參數(shù)函數(shù)的形式，為了方便閱讀我把代碼寫在Ruby腳本文件里面

# currying.rb
ADD_THREE_NUMBER_NEW = -> (a) {
 -> (b) {
 -> (c) {
 a + b + c
 }
 }
}

if __FILE__ == $0
 p ADD_THREE_NUMBER_NEW.call(1).call(2).call(3)
end

運行結(jié)果

6

其實這個函數(shù)每次調(diào)用都返回了一個只帶一個參數(shù)的函數(shù)，而且返回的函數(shù)會保存著調(diào)用當(dāng)前函數(shù)時傳入的參數(shù)，就是我們通常講的閉包。直到最后一個函數(shù)被調(diào)用并返回的時候，才會真正得到期望的計算結(jié)果。

當(dāng)然我們可以更簡單的用Proc#[]來調(diào)用(在文章的后半部分我會統(tǒng)一用這種方式，比較節(jié)省代碼)

[1] pry(main)> require('./currying')
=> true
[2] pry(main)> ADD_THREE_NUMBER_NEW[1][2][3]
=> 6

2. 模擬Lambda演算

Lambda既然是最小的通用編程語言，那么我們現(xiàn)在嘗試一下用Ruby的Proc這個現(xiàn)成的Lambda來演算一些東西。難的東西我自己都還接受不了，這里只能先來模擬一些最為簡單的東西了。

1) 數(shù)字

首先嘗試模擬一下數(shù)字?！队嬎愕谋举|(zhì)》一書中提供了一個比較直觀的段子，以下是我概括的大意

我們?nèi)绻麤]辦法直接使用數(shù)字，而只能使用謂語(動作)，那么我們只能重復(fù)數(shù)這個動作來描述數(shù)字這個特征，而數(shù)這個動作其實就是我們需要寫的Lambda表達式

直觀點講當(dāng)我們要表示0的時候就數(shù)0次，調(diào)用方法0次，表示1的時候就調(diào)用方法一次。

那我們簡單地表示0~2就可以是

ZERO = -> (p) { -> (x) { x } }
ONE = -> (p) { -> (x) { p[x] } }
TWO = -> (p) { -> (x) { p[p[x]] } }

這樣或許看起來有點迷糊，其實他們都用Lambda演算出來的，他們都接受一個函數(shù)p(數(shù)數(shù)這個動作)以及一個基礎(chǔ)值x作為參數(shù)，如果是ZERO就直接返回基礎(chǔ)值x， 如果是ONE就以x這個基礎(chǔ)值作為參數(shù)調(diào)用函數(shù)p表示數(shù)了一次。

這里我們并沒有辦法很好的表示這個基礎(chǔ)值x，為了直觀，我需要借用一下Ruby內(nèi)置的數(shù)字0 作為一個基礎(chǔ)值，并且要另外定義數(shù)數(shù)這個動作。

CALCULATE = -> (n) { n + 1 }

其實數(shù)數(shù)的動作就是在原來的基礎(chǔ)值上加1，最后我統(tǒng)一寫腳本

# coding: utf-8

# number.rb
ZERO = -> (p) { -> (x) { x } }
ONE = -> (p) { -> (x) { p[x] } }
TWO = -> (p) { -> (x) { p[p[x]] } }

def to_integer(proc)
 calculate = -> (n) { n + 1 }
 # 其中0是基礎(chǔ)值
 proc[calculate][0]
end

在解析環(huán)境里面引入腳本并執(zhí)行一些相關(guān)的語句，就能得到我們想要的結(jié)果了

[1] pry(main)> require('./number')
=> true
[2] pry(main)> to_integer(ZERO)
=> 0
[3] pry(main)> to_integer(ONE)
=> 1
[4] pry(main)> to_integer(TWO)
=> 2

雖然對于已經(jīng)含有內(nèi)置數(shù)字類型的Ruby來說這種模擬完全沒有任何實用價值，不過對于了解Lambda演算這可以是一個不錯的開始。

2) 布爾型

說完數(shù)字，再來簡單說一下布爾類型吧，他們也算是比較基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)類型了。而且布爾型模擬起來還更簡單些。畢竟布爾型，不是true就是false。我們可以分別寫兩個都接受兩個參數(shù)的函數(shù)，一個代表true一個代表false。true函數(shù)就返回其中的第一個參數(shù)，false函數(shù)直接返回第二個參數(shù)。

TRUE = -> (x) { -> (y) { x }}
FALSE = -> (x) { -> (y) { y }}

我們再寫一個解析腳本，作為驗證。我記得在C這種沒有布爾類型的語言中我們是用0代表false 用大于1代表true。這里我就簡單用0和1作為基礎(chǔ)值來驗證我們的Lambda演算是否正確

# boolean.rb
TRUE = -> (x) { -> (y) { x }}
FALSE = -> (x) { -> (y) { y }}

def to_boolean(proc)
 proc[1][0]
end

引入運行腳本試試

[1] pry(main)> require('./boolean')
/Users/lan/Personal/Ruby/boolean.rb:1: warning: already initialized constant TRUE
/Users/lan/Personal/Ruby/boolean.rb:2: warning: already initialized constant FALSE
=> true
[2] pry(main)> to_boolean(FALSE)
=> 0
[3] pry(main)> to_boolean(TRUE)
=> 1

跟預(yù)期的一樣，我們的模擬是正確的，F(xiàn)ALSE函數(shù)最后被解析成0， 而TRUE函數(shù)最后被解析成1。

以上的警告是重復(fù)定義常量所致，這里可以暫時忽略。

3) 簡單判斷一個數(shù)是否為0

最后我們再做個簡單的模擬，用到我們前面模擬的數(shù)字以及布爾兩種類型來定義一個方法，判斷傳入的參數(shù)是否為0(是否我們定義的ZERO), 并返回一個布爾類型(TRUE或者FALSE)的模擬結(jié)果。算法很簡單

def zero?(n)
 if n == 0
 true
 else
 false
 end
end

那如何用Lambda表示？我們前面都講過了，ZERO這個函數(shù)會接收兩個參數(shù): 第一個參數(shù)是函數(shù)，第二個為基礎(chǔ)值，如果傳入的是ZERO函數(shù)的話，我們調(diào)用ZERO的時候，不管傳入第一個參數(shù)是什么，調(diào)用結(jié)果都會直接返回第二個參數(shù)(也就是基礎(chǔ)值)。

那我們回過頭來想如果把TRUE作為它第二個參數(shù)，把一個返回FALSE的函數(shù)作為第一個參數(shù)，那當(dāng)我們新函數(shù)接收的是ZERO函數(shù)并且調(diào)用它的時候不就會直接返回TRUE了嗎？而其他的方法，如ONE, TWO就會執(zhí)行-> (x) { FALSE }這個過程。

可以把代碼寫成

require "./number"
require "./boolean"

IS_ZERO = -> (proc) {
 proc[-> (x) {FALSE}][TRUE]
}

if __FILE__ == $0
 p to_boolean(IS_ZERO[ZERO])
 p to_boolean(IS_ZERO[ONE])
 p to_boolean(IS_ZERO[TWO])
end

運行結(jié)果是

1
0
0

只有第一個ZERO是我們期望的值，最后返回了1(就是true)。其他的都不是我們需要的代表數(shù)值0的Lambda表達式。

3. 尾聲

這篇文章有點長，主要介紹了Ruby里面的Proc類，以及對函數(shù)柯里化和Lambda表達式做了最基本的講解。最后舉了一些例子，用Lambda表達式來模擬數(shù)字和布爾類型，另外使用我們模擬出來的類型作為基礎(chǔ)來定義一個實用的方法IS_ZERO。

本文沒有涉及太多高深的東西，因為有很多高深的東西我還吸收不了，當(dāng)吸收了之后會繼續(xù)發(fā)文講述。很感謝您的閱讀。以上就是這篇文章的全部內(nèi)容了，希望本文的內(nèi)容對大家的學(xué)習(xí)或者工作能帶來一定的幫助，如果有疑問大家可以留言交流，謝謝大家對腳本之家的支持。