Python 實現(xiàn)定積分與二重定積分的操作

1.概述

最近項目需要使用程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)微積分，最初想用java實現(xiàn)，后來發(fā)現(xiàn)可用文檔太少，實現(xiàn)比較麻煩，后來嘗試使用python實現(xiàn)，代碼量較少，主要有sympy與scipy兩種實現(xiàn)方式，本文主要記錄scipy的實現(xiàn)方式。

2.內(nèi)容

2.1 所求函數(shù)

2.2 python代碼

# 引入需要的包
import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
import math

# 創(chuàng)建表達式
f = lambda x,y : exp(x**2-y**2)

# 計算二重積分：（p:積分值，err:誤差）
# 這里注意積分區(qū)間的順序
# 第二重積分的區(qū)間參數(shù)要以函數(shù)的形式傳入
p,err= scipy.integrate.dblquad(f, 0, 2, lambda g : 0, lambda h : 1)	
print(p)

2.3 注意問題

1. exp盡量使用numpy的exp

2. 注意積分區(qū)間參數(shù)的順序

3. 第二重積分的區(qū)間參數(shù)要以函數(shù)的形式傳入

補充：python實現(xiàn)求解積分

例子 1：

假設(shè)有隨機變量 x，定義域 X，其概率密度函數(shù)為 p(x)，f(x) 為定義在 X 上的函數(shù)，目標(biāo)是求函數(shù) f(x) 關(guān)于密度函數(shù) p(x) 的數(shù)學(xué)期望 。

蒙特卡洛法根據(jù)概率分布 p(x) 獨立地抽樣 n 個樣本 x1,x2,…..xn，得到近似的 f(x) 期望為：

其實這個的理解就是要求一個擁有概率密度的函數(shù)期望值

期望=積分（每個點的密度函數(shù)*每個點的價值函數(shù)）

例子 2：

假設(shè)我們想要求解 h(x) 在 X 上的積分：

我們將 h(x) 分解成一個函數(shù) f(x) 和一個概率密度函數(shù) p(x) 的乘積，進而又將問題轉(zhuǎn)換為求解函數(shù) f(x) 關(guān)于密度函數(shù) p(x) 的數(shù)學(xué)期望 ：

這里的Ep(x)是相當(dāng)于把整個分布當(dāng)時了概率分布，即總發(fā)生概率為1.

這里，f(x) 表示為 ，則有：

更一般的，假設(shè)我們想要求解 ，熟悉積分的同學(xué)肯定已經(jīng)知道答案為 ，那么如何用采樣的方法來得到這個值呢？

令 ，0x10，那么 。

下面是代碼：

'''import random
num=1000000
sum=0
for i in range(0,num):
    x=random.uniform(0,10)
    sum+=x*x*10
sum/=1000000
print(sum)'''
import random
numSamples=10000
samples=[random.uniform(0,10)for _ in range(numSamples)]
f_samples=[10*sample**2 for sample in samples]
result=1/10000.0*sum(f_samples)
print(result)

result=333.10527012455066

random.uniform(x,y)表示在[x,y)之間生成一個 實數(shù)

對于復(fù)雜的 h(x)，這種方法計算起來顯然就更加方便了（特別是忘記積分怎么算的同學(xué)）。

蒙特卡洛方法其實就是利用大數(shù)定理通過大量統(tǒng)計來算出最后的值。

到這里為止，我們簡單的介紹了蒙特卡洛方法，但是依舊沒有提到要怎么利用復(fù)雜的概率密度函數(shù)進行采樣。

接下來我們來看一下接受-拒絕法（accept-reject sampling method），它也是蒙特卡洛法中的一種類型適用于不能直接抽樣的情況。

以上為個人經(jīng)驗，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持腳本之家。