python機器學(xué)習(xí)高數(shù)篇之泰勒公式

不少同學(xué)一提到泰勒公式，腦海里立馬浮現(xiàn)高大上的定義和長長的公式，令人望而生畏。

實際上，泰勒公式?jīng)]有那么可怕，它是用簡單的多項式來逼近一個光滑的函數(shù)，從而近似替代不熟悉的函數(shù)。由于泰勒公式具有將復(fù)雜函數(shù)近似成多個冪函數(shù)疊加形式的性質(zhì)，可以用它進(jìn)行比較、求極限、求導(dǎo)、解微分方程等。

我們先來看一下泰勒公式的發(fā)明者，布魯克·泰勒——

布魯克·泰勒（Brook Taylor,1685-1732）,英國數(shù)學(xué)家，牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一，他于1712年的一封信里首次敘述了泰勒公式。

再來看一下高數(shù)書上對泰勒公式的定義：

公式3-5就稱為f(x)在x0處的帶有拉格朗日余項的n階泰勒公式。

初看這個泰勒公式的定義，就覺得恢宏大氣，氣勢磅礴。不過光從泰勒公式的定義，很難直觀看出它是怎么用多項式逼近原函數(shù)的。接下來我們用圖像和圖表來感受一下——

這里我們先列舉出f(x) = cosx在原點的泰勒2階、4階、6階、8階、10階的多項式，并用圖像表示該函數(shù)及其泰勒n階多項式。

對應(yīng)圖像如下，其中黑色線條為原函數(shù)f(x)，彩色線條為多項式g(x)?？梢钥吹诫S著階數(shù)的增大，多項式在更大范圍內(nèi)越來越逼近原函數(shù)。

我們再用python實現(xiàn)函數(shù)y=cosx的泰勒n階多項式，并與y=cosx的實際值進(jìn)行比較，其中令n=40。

def f_cos(x):
    m = 20+1
    sum = 1.0
    for i in range(1,m): #range函數(shù)取值是左閉右開
        n = 2 * i 
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i+1):
            tmp1 = -tmp1             
        for j in range(1,n+1):                    
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
    print("cos(x) = " + str(cos(x)))

比較自定義的f_cos(x)和numpy庫的cosx的誤差：